题目内容

（2012•葫芦岛模拟）根据辽宁省期初教育工作会议精神，我省所有中小学全部取消晚自习，某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到频率分布直方图如下．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人；
（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：
利用时间充分 利用时间不充分 总计
走读生 50 25 75
住宿生 10 15 25
总计 60 40 100
是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？
（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；
参考公式：K2=
n(n11n22-n12n21)2
(n22+n21)(n11+n12)(n11+n21)(n12+n21)
．
分析：（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），则由图能够求出n的值并能补全频率分布直方图．
（2）利用题设条件，先求出2×2列联表，再求出K2，并把K2与3.841进行比较，从而得到有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．
（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑦组15人，第⑧组10人，总计20人．则X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X=i）=
C
i
5
C
3-i
15
C
3
20
（i=0，1，2，3），由此能求出X的分布列和EX．
解答：解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），则由图可知：P1=
1
3000
×30=
1
100
，P2=
1
750
×30=
4
100

∴学习时间少于60钟的频率为：P1+P2=
5
100
  由题意：n×
5
100
=5∴n=100
又P3=
1
300
×30=
10
100
，P5=
1
100
×30=
30
100
，P6=
1
200
×30=
15
100
，P7=
1
300
×30=
10
100
，P8=
1
600
×30=
5
100
，
∴P4=1-（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=1-
1+4+10+30+15+10+5
100
=1-
75
100
=
25
100

第④组的高度h=
25
100
×
1
30
=
25
3000
=
1
120

频率分布直方图如图：（未标明高度1/120扣1分）（4分）
（2）2×2列联表如下：
利用时间充分 利用时间不充分 总计
走读生 50 25 75
住宿生 10 15 25
总计 60 40 100
K2=
100×(50×15-25×10)2
75×25×40×60
≈5.556
由于K2＞3.841，
所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…（8分）
（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑦组10人，第⑧组5人，总计20人．
则X的所有可能取值为0，1，2，3
P（X=i）=
C
i
5
C
3-i
15
C
3
20
（i=0，1，2，3）
∴P（X=0）=
C
0
5
C
3
15
C
3
20
=
455
1140
=
91
228
，
P（X=1）=
C
1
5
C
2
15
C
3
20
=
525
1140
=
105
228
=
35
76
，
P（X=2）=
C
2
5
C
1
15
C
3
20
=
150
1140
=
30
228
=
5
38
，
P（X=3）=
C
3
5
C
0
15
C
3
20
=
10
1140
=
2
228
=
1
114

∴X的分布列为：
P 0 1 2 3
X
91
228
35
76
5
38
1
114
EX=0×
91
228
+1×
105
228
+2×
30
228
+3×
2
228
=
1×105+2×30+3×2
228
=
171
228
=
3
4
．
点评：本题考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意频率分布直方图和概率知识的灵活运用．
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