题目内容

(1)求n的值并求有效学习时间在[90,120)内的频率;
(2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的n名学生,下列2×2列联表,问:是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?
利用时间充分 | 利用时间不充分 | 合计 | |
走读生 | 50 | a | 75 75 |
住校生 | b | 15 | 25 25 |
合计 | 60 60 |
40 | n |
参考公式:K2=
n(ad-bc)2 |
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
参考列表:
P(K2≥k0) |
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k0 |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
分析:(1)设第i组的频率为Pi(i=1,2,…,8),则由图可知:学习时间少于60钟的频率为:P1+P2=,由此能够求出n的值并求出有效学习时间在[90,120)内的频率.
(2)求出K2,比较K2与3.841的大小,能够判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关.
(3)由题设条X的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出其概率,能够得到X的分布列和期望.
(2)求出K2,比较K2与3.841的大小,能够判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关.
(3)由题设条X的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出其概率,能够得到X的分布列和期望.
解答:解:(1)设第i组的频率为Pi(i=1,2,…,8),
则由图可知:P1=
×30=
,P2=
×30=
,
∴学习时间少于60钟的频率为:P1+P2=
,
由题n×
=5,∴n=100,…(2分)
又P3=
×30=
,P5=
×30=
,
P6=
×30=
,P7=
×30=
,
P8=
×30=
,
∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)
∴P4=1-(
+
+
+
+
+
+
)=
∴有效学习时间在[90,120)内的频率为
.(4分)
(2)抽取的100人中,走读生有750×
=75人,住读生25人,∴a=25,b=10(6分)
由于K2=
>3.841,所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关.(8分)
(3)由题意知:第①组1人,第②组4人,第⑦组10人,第⑧组5人,共20人
∴P(X=i)=
,(i=0,1,2,3),
∴P(X=0)=
=
,
P(X=1)=
=
,
P(X=2)=
=
,
P(X=3)=
=
,(10分)
∴X的分布列为:
EX=0×
+1×
+2×
+3×
=
.
则由图可知:P1=
1 |
3000 |
1 |
100 |
1 |
750 |
4 |
100 |
∴学习时间少于60钟的频率为:P1+P2=
5 |
100 |
由题n×
5 |
100 |
又P3=
1 |
300 |
10 |
100 |
1 |
100 |
30 |
100 |
P6=
1 |
200 |
15 |
100 |
1 |
300 |
10 |
100 |
P8=
1 |
600 |
5 |
100 |
∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)
∴P4=1-(
1 |
100 |
4 |
100 |
10 |
100 |
30 |
100 |
15 |
100 |
10 |
100 |
5 |
100 |
1 |
4 |
∴有效学习时间在[90,120)内的频率为
1 |
4 |
(2)抽取的100人中,走读生有750×
1 |
10 |
由于K2=
100(50×15-25×10)2 |
75×25×40×60 |
(3)由题意知:第①组1人,第②组4人,第⑦组10人,第⑧组5人,共20人
∴P(X=i)=
| ||||
|
∴P(X=0)=
| ||||
|
91 |
228 |
P(X=1)=
| ||||
|
35 |
76 |
P(X=2)=
| ||||
|
5 |
38 |
P(X=3)=
| ||||
|
1 |
114 |
∴X的分布列为:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
P |
|
|
|
|
91 |
228 |
35 |
76 |
5 |
38 |
1 |
114 |
3 |
4 |
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,是中档题,在历年高考中都是必考题型.解题时要认真审题,仔细解答,注意排列组合和概率知识的灵活运用.

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