题目内容

(2012•湖北模拟)某校高二年级共有学生1000名,其中走读生750名,住宿生250名,现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查,根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组:[0,30),[30,60),[60,90),[90,120),[120,150),[150,180),[180,210),[210.240),得到频率分布直方图如图,已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人.
(1)求n的值并求有效学习时间在[90,120)内的频率;
(2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的n名学生,下列2×2列联表,问:是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?
利用时间充分 利用时间不充分 合计
走读生 50 a
75
75
住校生 b 15
25
25
合计
60
60
40 n
(3)若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因,记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X,求X的分布列及期望.
参考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考列表:

P(K2≥k0
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025

k0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
分析:(1)设第i组的频率为Pi(i=1,2,…,8),则由图可知:学习时间少于60钟的频率为:P1+P2=,由此能够求出n的值并求出有效学习时间在[90,120)内的频率.
(2)求出K2,比较K2与3.841的大小,能够判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关.
(3)由题设条X的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出其概率,能够得到X的分布列和期望.
解答:解:(1)设第i组的频率为Pi(i=1,2,…,8),
则由图可知:P1=
1
3000
×30=
1
100
,P2=
1
750
×30=
4
100

∴学习时间少于60钟的频率为:P1+P2=
5
100

由题n×
5
100
=5,∴n=100,…(2分)
又P3=
1
300
×30=
10
100
,P5=
1
100
×30=
30
100

P6=
1
200
×30=
15
100
,P7=
1
300
×30=
10
100

P8=
1
600
×30=
5
100

∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8
P4=1-(
1
100
+
4
100
+
10
100
+
30
100
+
15
100
+
10
100
+
5
100
)=
1
4

∴有效学习时间在[90,120)内的频率为
1
4
.(4分)
(2)抽取的100人中,走读生有750×
1
10
=75人,住读生25人,∴a=25,b=10(6分)
由于K2=
100(50×15-25×10)2
75×25×40×60
>3.841,所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关.(8分)
(3)由题意知:第①组1人,第②组4人,第⑦组10人,第⑧组5人,共20人
∴P(X=i)=
C
i
5
C
3-i
15
C
3
20
,(i=0,1,2,3),
∴P(X=0)=
C
0
5
C
3
15
C
3
20
=
91
228

P(X=1)=
C
1
5
C
2
15
C
3
20
=
35
76

P(X=2)=
C
2
5
C
1
15
C
3
20
=
5
38

P(X=3)=
C
3
5
C
0
15
C
3
20
=
1
114
,(10分)
∴X的分布列为:
X 0 1 2 3
P
91
228
35
76
5
38
1
114
EX=0×
91
228
+1×
35
76
+2×
5
38
+3×
1
114
=
3
4
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,是中档题,在历年高考中都是必考题型.解题时要认真审题,仔细解答,注意排列组合和概率知识的灵活运用.
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