题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点F（
，
）的距离与到定直线l1：x+y+
=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时针方向旋转45°形成的．
（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞0）的直线l2交曲线C2于A、B两点，点N是点M关于原点的对称点．若
=λ
，证明：
⊥（
-λ
）．
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞0）的直线l2交曲线C2于A、B两点，点N是点M关于原点的对称点．若
| AM |
| MB |
| NM |
| NA |
| NB |
解（1）设P（x，y），由题意知曲线C1为抛物线，并且有
=
，
化简得抛物线C1的方程为：x2+y2-2xy-4
x-4
y=0．
令x=0，得y=0或y=4
；再令y=0，得x=0或x=4
，
所以，曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，4
）和（4
，0）．
点F（
，
）到l1：x+y+
=0的距离为
=2，
所以C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，
设直线l2的方程为y=k（x-m），代入y2=4x得
y2-
y-4m=0，可得y1y2=-4m．
由
=λ
，得（m-x1，-y1）=λ（x2-m，y2），可得λ=-
，
而N（-m，0），可得
-λ
=（x1+m，y1）-λ（x2+m，y2）=（x1-λx2+（1-λ）m，y1-λy2）
∵
=（2m，0），
∴
•（
-λ
）=2m[x1-λx2+（1-λ）m]=2m[
+
-
+（1+
）m]
=2m（y1+y2）•
=2m（y1+y2）•
=0
∴对任意的λ满足
=λ
，都有
⊥（
-λ
）．
(x-
|
|x+y+
| ||
|
化简得抛物线C1的方程为：x2+y2-2xy-4
| 2 |
| 2 |
令x=0，得y=0或y=4
| 2 |
| 2 |
所以，曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，4
| 2 |
| 2 |
点F（
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
|
| ||||||||||
|
所以C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，
设直线l2的方程为y=k（x-m），代入y2=4x得
y2-
| 4 |
| k |
由
| AM |
| MB |
| y1 |
| y2 |
而N（-m，0），可得
| NA |
| NB |
∵
| NM |
∴
| NM |
| NA |
| NB |
| y12 |
| 4 |
| y1 |
| y2 |
| y22 |
| 4 |
| y1 |
| y2 |
=2m（y1+y2）•
| y1y2+4m |
| 4y2 |
| -4m+4m |
| 4y2 |
∴对任意的λ满足
| AM |
| MB |
| NM |
| NA |
| NB |
练习册系列答案
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如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是