题目内容
【题目】已知椭圆的左,右焦点分别为
,直线
与椭圆
相交于
两点;当直线
经过椭圆
的下顶点
和右焦点
时,
的周长为
,且
与椭圆
的另一个交点的横坐标为
(1)求椭圆的方程;
(2)点为
内一点,
为坐标原点,满足
,若点
恰好在圆
上,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
或
【解析】
(1)由椭圆的定义可知,焦点三角形的周长为,从而求出
.写出直线
的方程,与椭圆方程联立,根据交点横坐标为
,求出
和
,从而写出椭圆的方程;
(2)设出P、Q两点坐标,由可知点
为
的重心,根据重心坐标公式可将点
用P、Q两点坐标来表示.由点
在圆O上,知点M的坐标满足圆O的方程,得
式.
为直线l与椭圆
的两个交点,用韦达定理表示
,将其代入方程
,再利用
求得
的范围,最终求出实数
的取值范围.
解:(1)由题意知.
,
直线的方程为
∵直线与椭圆
的另一个交点的横坐标为
解得或
(舍去)
,
∴椭圆的方程为
(2)设
.
∴点为
的重心,
∵点在圆
上,
由得
,
代入方程,得
,
即
由得
解得.
或
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