题目内容
（本小题满分14分）
如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
（1）求证：P-ABC为正四面体；
（2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V=
,
是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°?
若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.
（1）见解析 （2）M点 满足AM=
（3）构造棱长均为
,底面为正方形或锐角为60°的菱形的平行六面体
【解析】
试题分析： 
（1）解：∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 2分
又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°
∴P-ABC是正四面体. 4分
（2）（5分）
作PO⊥面ABC于O，MN⊥面ABC于N，
∵A、M、P三点共线 ∴A、N、O三点共线，延长AO交BC于G
∴∠MBN=45°，MN//PO
∵P-ABC为棱长为1的正四面体
∴ AO=
，PO=
6分
设MN=x，则BN=x，且 
∴AM=
，AN=
∵AG是等边△ABC的中线 ∴∠BAN=30°
∴BN2=AN2+AB2-2AB
ANcos30° 8分
解得x=
∴AM=
9分
（3）（5分）
存在满足条件的平行六面体. 10分
棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,则平行六面体的棱长均为,
11分
设该六面体一条侧棱长为A1B1，与底面两条棱A1C1和A1D1的夹角为60°，设底面四边形的锐角为2α, 作B1E1⊥底面A1C1D1于E1，E1F1⊥A1C1
∵∠B1A1C1=∠B1A1D1
∴∠C1A1E1=α
则A1F1=
，A1E1=
，zxxk
B1E1=
则V=
解得 
或
∴2α=90°或60° 13分
故构造棱长均为,底面为正方形或锐角为60°的菱形的平行六面体即满足要求. 14分
考点：棱柱 棱台的性质，直线与平面所成角，解三角形，柱体体积公式
点评：该题综合性较强，涉及多知识点的交汇
课堂练加测系列答案
轻松课堂单元测试AB卷系列答案
(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=
，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）