Question

对于在区间 [ m，n ] 上有意义的两个函数与，如果对任意，均有，则称与在 [ m，n ] 上是友好的，否则称与在 [ m，n ]是不友好的．现有两个函数与（a > 0且），给定区间．

（1）若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；

（2）讨论与在给定区间上是否友好．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) 当时，在上是友好的，当时，在上是不友好的

【解析】

试题分析：（1）函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，必须满足（2）假设存在实数a，使得函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，

则|f（x）-g（x）|=|log_a（x²-4ax+3a²）|?|log_a（x²-4ax+3a²）|≤1即-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1（*），因为a∈（0，1）?2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右侧，

所以函数g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在区间[a+2，a+3]上为减函数，从而，于是不等式（*）成立的充要条件是，因此，当时，在上是友好的； 当时，在上是不友好的

考点：本题考查了函数的定义域及单调性

点评：此类问题要求学生熟练掌握函数单调性的判断与证明，以及新定义的运用，属于中档题．