Question

（2006•东城区三模）对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对于任意x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的．若函数y=x²-2x+3与函数y=3x-2在区间[m，n]上是接近的，给出如下区间①[1，4]②[1，3]③[1，2]∪[3，4]④[1，

3

2

]∪[3，4]，则区间[m，n]可以是

③、④

．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析：根据题中的新定义可知，若函数y=x²-2x+3与函数y=3x-2在区间[m，n]上是接近的，得两函数解析式之差的绝对值小于等于1，分两种情况分别求出两不等式的解集，然后求出两解集的交集即可求出x的取值范围即为新定义中的区间，然后再对①②③④进行判断；

解答：解：根据函数y=x2-3x+4与函数y=2x-3在区间[a，b]上是接近的，
可得：|（x²-2x+3）-（3x-2）|≤1，
即x²-5x+4≤0…①
x²-5x+6≥0…②，
由①得：（x-1）（x-4）≤0，解得：1≤x≤4；
由②得：（x-2）（x-3）≥0，解得：x≥3或x≤2
综上，x∈[1，2]∪[3，4]．
∵①[1，4]?[1，2]∪[3，4]；
②[1，3]]?[1，2]∪[3，4]；
③[1，2]∪[3，4]]=[1，2]∪[3，4]；
④[1，

3

2

]∪[3，4]⊆[1，2]∪[3，4]；
∴区间[m，n]可以是③、④
故答案为③、④

点评：此题考查学生掌握新定义并灵活运用新定义化简求值，是一道综合题，解题的关键还是要正确求解绝对值不等式