Question

已知函数f（x）=asinx-x+b（a、b均为正的常数）．
（1）求证函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）设函数f（x）在x=

π

3

处有极值
①对于一切x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）＞sinx+cosx总成立，求b的取值范围；
②若函数f（x）在区间（

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0，可得函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）利用函数f（x）在x=

π

3

处有极值，可得a=2
①不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于一切x∈[0，

π

2

]总成立，可求g（x）=cosx-sinx+x在[0，

π

2

]上是单调增函数，且最大值为-1+

π

2

，故可求b的取值范围；
②由f′（x）=2cosx-1＞0，可x得函数f（x）单调递增区间为(-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ)（k∈Z），利用函数f（x）在区间（

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上单调递增，可建立不等式组，从而可求实数m的取值范围．

解答：（1）证明：∵函数f（x）=asinx-x+b，a、b均为正的常数
∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）f′（x）=acosx-1，
∵函数f（x）在x=

π

3

处有极值，∴f′（

π

3

）=acos

π

3

-1=0，∴a=2
∴f（x）=asinx-x+b=2sinx-x+b
①不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于一切x∈[0，

π

2

]总成立
设g（x）=cosx-sinx+x，∴g′（x）=-sinx-cosx+1=-

2

sin(x+

π

4

)+1
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，∴-

2

sin(x+

π

4

)+1≤0，
∴g′（x）≤0
∴g（x）=cosx-sinx+x在[0，

π

2

]上是单调减函数，且最大值为1
欲使b＞cosx-sinx+x对于一切x∈[0，

π

2

]总成立，只需要b＞1即可
②由f′（x）=2cosx-1＞0，可得x∈(-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ)（k∈Z）
∴函数f（x）单调递增区间为(-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ)（k∈Z）
∵函数f（x）在区间（

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上单调递增
∴

m-1 3 π≥- π 3 +2kπ 2m-1 3 π≤ π 3 +2kπ m-1 3 π＜ 2m-1 3 π

，∴6k≤m≤1+3k，且m＞0
∵6k≤1+3k，1+3k＞0（k∈Z），
∴-

1

3

＜k≤0
∴k=0，0≤m≤1
即实数m的取值范围为[0，1]．

点评：本题考查函数的零点，考查恒成立问题，考查函数的单调性，解题的关键是正确求导，确定函数的最值与单调区间．