Question

已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f^-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f^-1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．
（1）判断函数g（x）=x²+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．

Answer 1

解（1）函数g（x）=x²+1（x＞0）的反函数是，
∴，
而g（x+1）=（x+1）²+1（x＞-1），其反函数为，
故函数g（x）=x²+1（x＞0）不满足“1和性质”．
（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．
∴，∴，
而 f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数 ，
由“2和性质”定义可知 ，对（x∈R）恒成立．
∴k=-1，b∈R，即所求一次函数f（x）=-x+b（b∈R）．
（3）设a＞0，x₀＞0，且点（x₀，y₀）在y=f（ax）图象上，则（y₀，x₀）在函数y=f^-1（ax）图象上，
故，可得 ay₀=f（x₀）=af（ax₀），
令 ax₀=x，则，∴，即．
综上所述，，此时，其反函数是，
而，故y=f（ax）与y=f^-1（ax）互为反函数．
分析：（1）先求出 g^-1（x） 的解析式，换元可得g^-1（x+1）的解析式，将此解析式与g（x+1）的作对比，看是否满足互为反函数．
（2）先求出f^-1（x） 的解析式，再求出 f^-1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f^-1（x+2）的解析式，用两种方法得到的 f^-1（x+2）的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数f（x）的解析式．
（3）设点（x₀，y₀）在y=f（ax）图象上，则（y₀，x₀）在函数y=f^-1（ax）图象上，可得 ay₀=f（x₀）=af（ax₀），
，即，即 满足条件．
点评：本题考查反函数的求法，函数与反函数的图象间的关系，体现了换元的思想，属于中档题．