题目内容
【题目】已知函数f（x）=ln
+ax﹣1（a≠0）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知g（x）+xf（x）=﹣x，若函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：g（x1）＜0．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题
(Ⅰ)由题意分类讨论可得
a＞0时，函数的单调减区间是
，单调增区间是
；
a＜0，函数单调递减；
(Ⅱ)由题意可得
，结合导函数与原函数的性质和二次函数的性质进行讨论即可证得题中的结论.
试题解析：
（I）解：f（x）=ln
+ax﹣1=﹣lnx+ax﹣1，定义域是（0，+∞）
∴f′（x）=
．
a＞0时，令f′（x）=0，得x=
，0＜x＜，f′（x）＜0，x＞，f′（x）＞0，
∴函数的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）；
a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数单调递减；
（Ⅱ）证明：已知g（x）+xf（x）=﹣x，则g（x）=xlnx﹣ax2，g′（x）=lnx﹣2ax+1，
∵函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
∴g′（x）在定义域上有两个零点x1，x2（x1＜x2），
∴x1，x2是lnx﹣2ax+1=0的两个根，
∴lnx1﹣2ax1+1=0，
∴g（x1）=
，
∵g′（x）=lnx﹣2ax+1，
∴g″（x）=
．
a＜0时，g″（x）＞0恒成立，∴g′（x）在（0，+∞）内单调递增，∴g′（x）至多一个零点；
a＞0时，令g″（x）=0得x=
，0＜x＜，g″（x）＞0，x＞，g″（x）＜0，
∴g′（x）max=g′（）=ln=﹣ln2a＞0，
∴0＜a＜
且0＜x1＜＜x2，
∵g（x1）=，抛物线开口向上，对称轴为x=，
∴g（x1）＜0．
暑假接力赛新疆青少年出版社系列答案
【题目】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了
人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁） |
|
|
|
|
|
|
频数 |
|
|
|
|
|
|
赞成人数 |
|
|
|
|
|
|
（
）完成被调查人员的频率分布直方图．
（
）若从年龄在
，
的被调查者中各随机选取人进行追踪调查，求恰有人不赞成的概率．
（
）在
在条件下，再记选中的
人中不赞成“车辆限行”的人数为
，求随机变量的分布列和数学期望．
