题目内容

(2004•河西区一模)设f1(x)=
2
1+x
,若fn+1(x)=f1[fn(x)],an=
fn(0)-1
fn(0)+2
,其中n∈N*
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=
4n2+n
36n2+36n+9
.其中n∈N*,试比较T2n与Qn的大小,并说明理由.
分析:(I)利用递推式即可化为等比数列,利用其通项公式即可得出;
(II)利用“错位相减法”即可得出T2n,通过作差,只要比较22n与(2n+1)2的大小,当n≤3时,直接比较,当n>4时,利用二项式定理展开放缩即可.
解答:解:(I)f1(0)=2,a1=
f1(0)-1
f1(0)+2
=
1
4

fn+1(0)=f1[fn(0)]=
2
1+fn(0)
an+1=
fn+1(0)-1
fn+1(0)+2
=
1-fn(0)
4+2fn(0)
=-
1
2
fn(0)-1
fn(0)+2
=-
1
2
an,(3分)

{an}是首项为
1
4
,公比为-
1
2
的等比数列
(4分)
∴{an}的通项公式是an=
1
4
•(-
1
2
)n-1,n∈N*
.  (5分)
(II)∵T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n-1+2na2n
-
1
2
T2n=a2+3a3+…+(2n-1)a2n-na2n
,(6分)
两式相减得
3
2
T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n

3
2
T2n=
1
4
[1-(-
1
2
)
2n
]
1+
1
2
+n•
1
4
•(-
1
2
)2n-1
=
1
6
-
1
6
(-
1
2
)2n+
n
4
•(-
1
2
)2n-1

T2n=
1
9
(1-
3n+1
22n
)
,(8分)
Qn=
n(4n+1)
9(2n+1)2

T2n-Qn=
3n+1
9•(2n+1)2
-
3n+1
9•22n
=
3n+1
9
[
1
(2n+1)2
-
1
22n
]
=
3n+1
9
22n-(2n+1)2
22n(2n+1)2
(9分)
∵n∈N*,∴只要比较22n与(2n+1)2大小.
当n=1时,22n-(2n+1)2=-5<0,即T2<Q1(10分)
当n=2时,22n-(2n+1)2=-7<0,即T4<Q2(11分)
当n≥3时,22n<[(1+1)n]2=(
C
0
n
+
C
1
n
+…+
C
n
n
)2
>[1+n+
n(n-1)
2
]2≥(1+n+n)2=(2n+1)2
(13分)
∴T2n>Qn
故n=1或2时,T2n<Qn,n≥3时,T2n>Qn.  (14分)
点评:熟练掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、“作差法”、通过二项式定理放缩比较大小等是解题的关键.
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