Question

4．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若双曲线上存在一点P，使得|PF₁|，2a，|PF₂|成等差数列，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，2]
• C． [2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 不妨设P在双曲线右支，P点的横坐标为x，可得|PF₁|=3|PF₂|，利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．

解答 解：∵双曲线上存在一点P，使得|PF₁|，2a，|PF₂|成等差数列，
∴|PF₁|+|PF₂|=4a，
不妨设P在双曲线右支，则|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
∴|PF₁|=3|PF₂|，
设P点的横坐标为x
∵|PF₁|=3|PF₂|，P在双曲线右支（x≥a）
根据双曲线的第二定义，可得3e（x-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）
∴ex=2a
∵x≥a，∴ex≥ea
∴2a≥ea，∴e≤2
∵e＞1，∴1＜e≤2
故选：B．

点评 本题主要考查等差数列的性质，考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．