Question

12．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且经过定点$P（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（x+1）交椭圆C于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义，求出a，结合c=1，求出b，即可由此能求出椭圆方程．
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+1）\end{array}\right.$，消去y得，2x²+2x-1=0，由此利用弦长公式能够求出张段AB的长．

解答 解：（1）由椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，
即$2a=\sqrt{{{（-1-1）}^2}+{{（0-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}+\sqrt{{{（1-1）}^2}+{{（0-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=2\sqrt{2}$，
∴$a=\sqrt{2}$，
又c=1，∴b²=a²-c²=1．…（4分）
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+1）\end{array}\right.$，
消去y得，2x²+2x-1=0且△=2²-4×2×（-1）＞0，…8 分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理可知x₁+x₂=-1，${x_1}{x_2}=-\frac{1}{2}$，…10 分
由弦长公式可得$|{AB}|=\sqrt{1+\frac{1}{2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．…12 分

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．