题目内容

14.△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,b=c,满足$\frac{sinB}{sinA}=\frac{1-cosB}{cosA}$.若点O是△ABC外一点,∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,平面四边形OACB面积的最大值是$\frac{8+5\sqrt{3}}{4}$.

分析 根据条件$\frac{sinB}{sinA}=\frac{1-cosB}{cosA}$,利用两角和的正弦公式即可得出sinA=sinC,从而得到A=C,再根据b=c,从而△ABC为等边三角形.根据${\overrightarrow{AB}}^{2}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})^{2}$即可得到${\overrightarrow{AB}}^{2}=5-4cosθ$,这时候可以表示出${S}_{△ABC}=\frac{5\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}cosθ$,S△AOB=sinθ,从而可得到${S}_{四边形OACB}=\frac{5\sqrt{3}}{4}+2sin(θ-\frac{π}{3})$,可说明$sin(θ-\frac{π}{3})$最大值为1,从而便可得出平面四边形OACB面积的最大值.

解答 解:解:∵△ABC中,$\frac{sinB}{sinA}=\frac{1-cosB}{cosA}$;
∴sinBcosA=sinA-sinAcosB;
∴sinBcosA+cosBsinA=sinA;
∴sin(A+B)=sinC=sinA;
∴A=C;
又b=c;
∴△ABC为等边三角形,如图所示:
则:$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$;
∴$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+|\overrightarrow{OA}{|}^{2}-2\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$=1+4-4cosθ=5-4cosθ;
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AB}|•sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=\frac{5\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}cosθ$;
${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}•OB•OA•sinθ=sinθ$;
∴S四边形OACB=S△AOB+S△ABC=$\frac{5\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}cosθ+sinθ$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}+2sin(θ-\frac{π}{3})$;
∵0<θ<π;
∴$-\frac{π}{3}<θ-\frac{π}{3}<\frac{2π}{3}$;
∴$θ-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$,即$θ=\frac{5π}{6}$时,sin$(θ-\frac{π}{3})$取最大值1;
∴平面四边形OACB面积的最大值为$\frac{5\sqrt{3}}{4}+2=\frac{8+5\sqrt{3}}{4}$.
故答案为:$\frac{8+5\sqrt{3}}{4}$.

点评 考查两角和差的正弦公式,三角函数的诱导公式,向量减法的几何意义,以及向量数量积的运算,三角形的面积公式.

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