Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sinx•cosx-\frac{1}{2}$cos2x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B=30°，c=$\sqrt{3}$，f（C）=1，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性即可得出；
（2）利用三角函数的单调性与周期性可得C，利用直角三角形的边角公式即可得出．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinx•cosx-\frac{1}{2}cos2x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
∵x∈R，∴$-1≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
∴f（x）的最小值是-1，
∴$T=\frac{2π}{2}=π$，
故其最小正周期是π
（2）∵f（C）=1，
∴$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
又∵0＜2C＜2π，∴$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，∴$C=\frac{π}{3}$，
∵B=$\frac{π}{6}$，∴A=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC 是直角三角形．
∴$\frac{b}{sinB}$=2，
∴b=1，
设三角形ABC的面积为S，
∴S=$\frac{1}{2}bc$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性、直角三角形的边角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．