Question

10．已知平面内一动点P到点F（0，2）的距离与点P到直线l：y=-2的距离相等．
（1）求点P的轨迹C的方程．
（2）点Q为直线l上一点，过点Q作C的切线分别交C于A、B两点，
①求证：直线AB过点F；
②求证：以AB为直径的圆与l相切．

Answer 1

分析 （1）判断动点P的轨迹为抛物线，且开口向上，求出p=4，即可求解抛物线方程．
（2）①设点Q（x₀，-2），直线的斜率设为k，求出切线的方程为y=k（x-x₀）-2，代入x²=8y，利用△=0，得到关系式，设QA、QB的斜率分别为k₁、k₂，利用${k_1}+{k_2}=\frac{x_0}{2}$，k₁k₂=-1，推出k_AF=k_BF，得到直线AB过点F，②设以AB为直径的圆的圆心为M，求出M坐标，推出MQ⊥l，得到QA⊥QB，然后证明以AB为直径的圆与l相切（切点为Q）．

解答 （本小题满分13分）
解：（1）由题意可知，动点P的轨迹为抛物线，且开口向上，p=4，
因此其方程为x²=8y．…（3分）
（2）设点Q（x₀，-2），易知过点Q且与抛物线C相切的直线的斜率存在，
设为k，则切线的方程为y=k（x-x₀）-2
代入x²=8y中消去y有x²-8kx+8kx₀+16=0，
∵△=64k²-32kx₀-64=0即2k²-kx₀-2=0…（5分）
设QA、QB的斜率分别为k₁、k₂，则${k_1}+{k_2}=\frac{x_0}{2}$，k₁k₂=-1…（7分）
将y=k₁（x-x₀）-2、y=k₂（x-x₀）-（2分）别与x²=8y联立
可求得$A（4{k_1}，2k_1^2）$、$B（4{k_2}，2k_2^2）$
①∴${k_{AF}}-{k_{BF}}=\frac{2k_1^2-2}{k_1}-\frac{2k_2^2-2}{k_2}=\frac{{2（{k_1}{k_2}+1）（{k_1}-{k_2}）}}{{{k_1}{k_2}}}=0$，
∴k_AF=k_BF∴直线AB过点F  …（10分）
②设以AB为直径的圆的圆心为M，则$M（\frac{{4{k_1}+4{k_2}}}{2}，\frac{2k_1^2+2k_2^2}{2}）$
即$M（{x_0}，k_1^2+k_2^2）$此时点M的横坐标与点Q的横坐标相等，∴MQ⊥l
又∵k₁k₂=-1，∴QA⊥QB，
∴点Q在以AB为直径的圆上，
∴以AB为直径的圆与l相切（切点为Q）．…（13分）

点评 本题考查圆锥曲线方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，直线与圆锥曲线的综合应用，考查计算能力．