Question

【题目】已知函数
（1）判断f（x）的单调性，说明理由．
（2）解方程f（2x）=f﹣1（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：4x﹣1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上单调增．

证法一：设0＜x1＜x2，则 =

又∵0＜x1＜x2，∴ ，

∴ ，即

∴f（x1）＜f（x2），f（x）在（0，+∞）上单调增．

证法二：∵y=log4x在（0，+∞）上都是增函数，

y=4x﹣1在（0，+∞）上是增函数且y=4x﹣1＞0

∴ 在（0，+∞）上也是增函数

（2）解： ，

∴f（2x）=f﹣1（x），即0＜42x﹣1=4x+142x﹣4x﹣2=0，解得4x=﹣1（舍去）或4x=2，

∴

经检验， 是方程的根

【解析】（1）利用函数单调性的定义，或复合函数单调性的判定方法，可得结论；（2）求出f﹣1（x），可得方程，解方程，即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合函数单调性的判断方法的相关知识，掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”，以及对函数的零点的理解，了解函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．