题目内容
16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其导函数为f′(x),且x<0时,2f(x)+xf′(x)<0恒成立,则a=f(1),b=2f($\sqrt{2}$),c=4f(2)的大小关系为( )A. | c<b<a | B. | c<a<b | C. | a<c<b | D. | a<b<c |
分析 构造g(x)=x2f(x),进一步利用函数的导数求出函数g(x)的单调性,再利用函数的奇偶性求出函数在对称区间里的单调性,最后求出函数大小关系.
解答 解:构造函数g(x)=x2f(x)
则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x))
当x<0时,2f(x)+xf′(x)<0恒成立,
∴函数g′(x)>0,
即当x<0时,函数g(x)为单调递增函数.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴函数g(x)=x2f(x)为奇函数.
即在x>0时,函数g(x)为单调递增函数.
则g(1)=f(1)=a,g($\sqrt{2}$)=2f($\sqrt{2}$)=b,g(2)=4f(2)=c,
则g(2)>g($\sqrt{2}$)>g(1),
即a<b<c.
故选:D
点评 本题主要考查函数值的大小比较,构造函数,求函数的导数,利用函数的导数求函数的单调性是解决本题的关键..
练习册系列答案
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5.设函数y=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-3x-10}}$的定义域为A,B={x||x-m|<6},且A∪B=R,则实数m的取值范围是( )
A. | -1<m<4 | B. | -1<m<3 | C. | 1<m<4 | D. | 1<m<3 |