题目内容

【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 asinA=( b﹣c)sinB+( c﹣b)sinC.
(1)求角A的大小;
(2)若a= ,cosB= ,D为AC的中点,求BD的长.

【答案】
(1)解:∵

∴由正弦定理可得: a2=( b﹣c)b+( c﹣b)c,即2bc= (b2+c2﹣a2),

∴由余弦定理可得:cosA= =

∵A∈(0,π),

∴A=


(2)解:∵由cosB= ,可得sinB=

再由正弦定理可得 ,即

∴得b=AC=2.

∵△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos∠A,

即10=AB2+4﹣2AB2

求得AB=32.

△ABD中,由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos∠A=18+1﹣6 =13,

∴BD=


【解析】(1)由已知,利用正弦定理可得 a2=( b﹣c)b+( c﹣b)c,化简可得2bc= (b2+c2﹣a2),再利用余弦定理即可得出cosA,结合A的范围即可得解A的值.(2)△ABC中,先由正弦定理求得AC的值,再由余弦定理求得AB的值,△ABD中,由余弦定理求得BD的值.

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