Question

给出下列四个命题：
①已知

a

=(3，  4)， 

b

=(0，  1)，则

a

在

b

方向上的投影为4；
②若函数y=（a+b）cos²x+（a-b）sin²x（x∈R）的值恒等于2，则点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（0，-2）；
③函数f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上是减函数；
④已知函数f（x）=ax²+（b+c）x+1（a≠0）是偶函数，其定义域为[a-c，b]，则点（a，b）的轨迹是直线；
⑤P是△ABC边BC的中线AD上异于A、D的动点，AD=3，则

PA

•(

PB

+

PC

)的取值范围是[-

9

2

，  0)．
其中所有正确命题的序号是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：①根据

a

在

b

方向上的投影为

a • b

| b |

，可得结论；
②先求点（a，b），即可得出结论；
③y=lgx在（0，+∞）上是增函数，可得函数f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上是减函数；
④利用函数是偶函数，求出b+c的值，确定a-c，b的关系，求出点（a，b）满足的关系，即可得到；
⑤|AP|=t，t∈（0，3），则|PD|=3-t，故

PA

•(

PB

+

PC

)=2

PA

•

PD

=-2t（3-t）=2t²-6t，利用配方法可得结论．

解答：解：①已知

a

=(3，  4)， 

b

=(0，  1)，则

a

在

b

方向上的投影为

a • b

| b |

=4，故是真命题；
②∵函数y=（a+b）cos²x+（a-b）sin²x=（a-b）+2bcos²x的值恒等于2，∴

a-b=2 b=0

，∴a=2，b=0，∴点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（-2，0），故是假命题；
③∵y=lgx在（0，+∞）上是增函数，∴函数f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上是减函数，故是真命题；
④函数f（x）=ax²+（b+c）x+1（a≠0）是偶函数，其定义域为[a-c，b]，所以b+c=0，并且b=c-a，所以b=-b-a，即b=-

1

2

a，所以点（a，b）的轨迹是直线，故是真命题；
⑤设|AP|=t，t∈（0，3），则|PD|=3-t，∴

PA

•(

PB

+

PC

)=2

PA

•

PD

=-2t（3-t）=2t²-6t=-2(t-

3

2

)2+

9

2

，∵t∈（0，3），∴

PA

•(

PB

+

PC

)的取值范围是[-

9

2

，  0)，故是真命题．
故答案为：①③④⑤

点评：本题考查命题真假的判定，考查向量知识的运用，考查函数的性质，属于中档题．