Question

【题目】已知函数．

（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a≤3 （2）a∈{0}∪（2，+∞）

【解析】

（1）利用分离参数法将不等式转化为a＜+2x，求出+2x的最小值即可求解.

（2）讨论的正负，利用函数的单调性解方程组即可求解.

（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，

得a﹣＜2x即a＜+2x，

记g（x）=+2x，在（1，+∞）上是增函数，

得g（x）＞g（1）=3，

所以：a≤3

（2）函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）

（ⅰ）当n＞m＞0时，f（x）在[m，n]上是增函数，

故，即，

所以方程中有两解， a＞2；

（ⅱ） 当0＞n＞m时，f（x）在[m，n]上是减函数，

故，即，两式作差且可得，

此时解得：a=0；

所以：a∈{0}∪（2，+∞）．