Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）若数列{a_n+pn+q}是等比数列，求实数p、q的值；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求a_n和S_n；
（Ⅲ）试比较a_n与（n+2）²的大小．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的定义，设

an+1+p(n+1)+q

an+pn+q

=m对任意n∈N^*都成立，待定系数法求出常数p和q的值．
（2）求出数列通项公式，拆项后分别使用等比数列、等差数列求和公式进行求和．
（3）对项数n进行检验、归纳猜想，将猜想的结论进行等价转化，明确目标，将不等式进行适当的放缩．

解答：解：（Ⅰ）设

an+1+p(n+1)+q

an+pn+q

=m对任意n∈N^*都成立．
得a_n+1+p（n+1）+q=ma_n+mpn+mq．（2分）
又a_n+1=2a_n+n+1，
则2a_n+n+1+pn+p+q=ma_n+mpn+mq，
即（2-m）a_n+（p+1-mp）n+p+1+q-mq=0．
由已知可得a_n＞0，
所以

2-m=0 p+1-mp=0 p+1+q-mq=0

.解得

m=2 p=1 q=2

.（5分）
则存在常数p=1，q=2使数列{a_n+pn+q}为等比数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+n+2=4•2^n-1．
则a_n=2ⁿ⁺¹-n-2．（8分）
所以S_n=a₁+a₂++a_n=2²+2³++2ⁿ⁺¹-（3+4++n+2）=

22(2n-1)

2-1

-

n(n+5)

2

=2n+2-4-

n2+5n

2

．（10分）
（Ⅲ）当n=1时，a₁=1，（1+2）²=9，则a₁＜9；
当n=2时，a₂=4，（2+2）²=16，则a₂＜16；
当n=3时，a₃=11，（3+2）²=25，则a₃＜25；
当n=4时，a₄=26，（4+2）²=36，则a₄＜36；
当n=5时，a₅=57，（5+2）²=49，则a₅＞49；（11分）
当n≥5时，要证a_n＞（n+2）²?2ⁿ⁺¹-n-2＞（n+2）²?2ⁿ⁺¹＞n²+5n+6．
而2ⁿ⁺¹=C_n+1⁰+C_n+1¹+C_n+1²++C_n+1ⁿ⁺¹≥2（C_n+1⁰+C_n+1¹+C_n+1²）+C_n+1³
=2+2(n+1)+n(n+1)+

(n-1)•n•(n+1)

6

≥2+2（n+1）+n（n+1）+（n-1）•n（∵n+1≥6）
=（n²+5n+6）+[n（n-3）-2]＞n²+5n+6．
所以当n≥5时，a_n＞（n+2）²．（13分）
因此当1≤n≤4（n∈N^*）时，a_n＜（n+2）²；当n≥5（n∈N^*）时，a_n＞（n+2）²．（14分）

点评：本题综合考查数列的等比关系的确定，数列求和及将不等式适当放所的方法．