Question

已知函数f（x）=sin（π-

ωx

2

）cos

ωx

2

+cos²

ωx

2

-

1

2

，（ω＞0）
（1）若函数y=f（x）的周期为π，将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），再把所得的函数图象向右平移

π

8

个单位得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）解析式，并求其对称中心．
（2）若函数y=f（x）在[

π

2

，π]上是减函数，求ω的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的恒等变换化简可得函数f（x）=

2

2

sin（ωx+

π

4

），由周期求得ω的值，再根据y=
Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数g（x）的解析式，从而求得函数g（x）的对称中心．
（2）根据函数f（x）=

2

2

sin（ωx+

π

4

） 在[

π

2

，π]上是减函数，故有

π

2

≤ω•

π

2

+

π

4

 且ω•

π

2

+

π

4

≤

3π

2

，
由此解得ω的取值范围．

解答：解：（1）由于函数f（x）=sin（π-

ωx

2

）cos

ωx

2

+cos²

ωx

2

-

1

2

=

1

2

sinωx+

1+cosωx

2

-

1

2

=

2

2

sin（ωx+

π

4

），
由周期π=

2π

ω

 可得ω=2，故f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）．
函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，可得函数y=

2

2

sin（4x+

π

4

）的图象，
再把所得的函数图象向右平移

π

8

个单位得到函数y=g（x）=

2

2

sin[4（x-

π

8

）+

π

4

]
=

2

2

sin（4x-

π

4

）的图象．
令4x-

π

4

=kπ，解得 x=

kπ

4

+

π

16

，k∈z，故g（x）的对称中心为（

kπ

4

+

π

16

，0），k∈z．
（2）由于函数f（x）=

2

2

sin（ωx+

π

4

） 在[

π

2

，π]上是减函数，
故有

π

2

≤ω•

π

2

+

π

4

 且ω•

π

2

+

π

4

≤

3π

2

，可得

1

2

≤ω≤

5

4

，
故ω的取值范围为[

1

2

，

5

4

]．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．