Question

已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．
（Ⅰ）若C在点M的法线的斜率为-，求点M的坐标（x，y_^）；
（Ⅱ）设P（-2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由切线和法线垂直，则其斜率之积等于-1，可得M处的切线的斜率k=2，再根据导数的几何意义，结合已知即可求得点M的坐标；
（2）设M（x，y_^）为C上一点，分x=-2和x≠-2两种情况讨论，结合题意和导数的几何意义可得到等量关系（x+2）²=a，然后再分a＞0，a=0，a＜0三种情况分析，即可求解．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，M处的切线的斜率k==2，
∵y′=2x+4，
∴2x+4=2，解得x=-1，
将x=-1代入中，解得y=，
∴M（-1，）；
（Ⅱ）设 M（x，y_^）为C上一点，
①若x=-2，则C上点M（-2，-）处的切线斜率 k=0，过点M（-2，-） 的法线方程为x=-2，此法线过点P（-2，a）；
②若 x≠-2，则过点 M（x，y_^）的法线方程为：y-y=-（x-x） ①
若法线过P（-2，a），则 a-y=-（-2-x），即（x+2）²=a  ②
若a＞0，则x=-2±，从而y=，将上式代入①，
化简得：x+2y+2-2a=0或x-2y+2+2a=0，
若a=0与x≠-2矛盾，若a＜0，则②式无解．
综上，当a＞0时，在C上有三个点（-2+，），（-2-，）及
（-2，-），在这三点的法线过点P（-2，a），其方程分别为：
x+2y+2-2a=0，x-2y+2+2a=0，x=-2．
当a≤0时，在C上有一个点（-2，-），在这点的法线过点P（-2，a），其方程为：x=-2．
点评：本题通过曲线的切线和法线问题，考查了导数的运算和几何意义，同时综合运用了分类讨论的数学思想，难度较大．