Question

已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．

（1）若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（x₀，y₀）；

（2）设P（－2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

M（－1，）（2）当a＞0时，有三个点（－2＋，），（－2－，）及（－2，－）；法线过点P（－2，a），其方程分别为：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2；

 a≤0时，有一个点（－2，－）法线过点P（－2，a），其方程为：x＝－2。

【解析】（1）由题意设过点M的切线方程为：，代入C得，

则，∴，

即M（－1，）．

（2）当a＞0时，假设在C上存在点满足条件．设过Q的切线方程为：，代入，则，

且．当时，由于，

∴ 或  ；当k=0时，显然也满足要求．

∴有三个点（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），

且过这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2.

当a≤0时，在C上有一个点（－2，－），在这点的法线过点P（－2，a），其方程为：x＝－2.

考点：抛物线与直线相切。

点评：在解决抛物线与直线相切的问题时，一般联立直线方程与抛物线方程，得关于x的一元二次方程，然后利用方程有唯一解，△=0来求解。