题目内容

已知抛物线C,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.

(1)若C在点M的法线的斜率为,求点M的坐标(x0y0);

(2)设P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点的法线通过点P?若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.

(1)M(-1,

(2)有三个点(-2+),(-2-)及(-2,-),

且过这三点的法线过点P(-2,a),其方程分别为:

x+2y+2-2a=0,x-2y+2+2a=0,x=-2


解析:

(1)由题意设过点M的切线方程为:,代入C得

,即M(-1,).

(2)当a>0时,假设在C上存在点满足条件.

设过Q的切线方程为:,代入

,则

.若时,由于

或  ;若k=0时,显然也满足要求.

∴有三个点(-2+),(-2-)及(-2,-),

且过这三点的法线过点P(-2,a),其方程分别为:

x+2y+2-2a=0,x-2y+2+2a=0,x=-2.

a≤0时,在C上有一个点(-2,-),在这点的法线过点P(-2,a),

其方程为:x=-2. 

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