题目内容
【题目】已知圆C过点A(1,2)和B(1,10),且与直线x﹣2y﹣1=0相切.
(1)求圆C的方程;
(2)设P为圆C上的任意一点,定点Q(﹣3,﹣6),当点P在圆C上运动时,求线段PQ中点M的轨迹方程.
【答案】
(1)解:圆心显然在线段AB的垂直平分线y=6上,设圆心为(a,6),半径为r,则:
圆C的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣6)2=r2,
由点B在圆上得:(1﹣a)2+(10﹣6)2=r2,
又圆C与直线x﹣2y﹣1=0,有r= .
于是
解得: ,或
所以圆C的标准方程为(x﹣3)2+(y﹣6)2=20,或(x+7)2+(y﹣6)2=80
(2)解:设M点坐标为(x,y),P点坐标为(x0,y0),
由M为PQ的中点,则 ,即:
又点P(x0,y0)在圆C上,
若圆的方程为(x﹣3)2+(y﹣6)2=20,有: ,
则(2x+3﹣3)2+(2y+6﹣6)2=20,整理得:x2+y2=5
此时点M的轨迹方程为:x2+y2=5.
若圆的方程为(x+7)2+(y﹣6)2=80,有: ,
则(2x+3+7)2+(2y+6﹣6)2=80,整理得:(x+5)2+y2=20
此时点M的轨迹方程为:(x+5)2+y2=20
综上所述:点M的轨迹方程为x2+y2=5,或(x+5)2+y2=20
【解析】(1)设所求圆的方程为(x﹣a)2+(y﹣6)2=r2 , 代入坐标,可得圆心与半径,即可求圆C的方程;(2)分类讨论,利用代入法,求线段PQ中点M的轨迹方程.
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