题目内容
【题目】设数列a1,a2,…,an,…中的每一项都不为0.求证:{an}为等差数列的充要条件是:对任何n∈N+,都有
【答案】见解析
【解析】分析：证明必要性，注意到相邻两项有重复元，考虑构造裂项，而
可以帮助构造裂项，于是裂项相消即可证明；证明充分性，注意到相邻两式作差可分别得到
，
，
，和，，
的关系，然后得到，，的关系，利用等差数列中项公式可得
是等差数列
详解：先证必要性.设数列{an}的公差为d.
若d=0,则所述等式显然成立.
若d≠0,
再证充分性.
依题意
①
②-①
在上式两端同乘a1an+1an+2,得a1=(n+1)an+1-nan+2. ③
同理可得a1=nan-(n-1)an+1. ④
③-④得2nan+1=n(an+2+an),即an+2-an+1=an+1-an,所以{an}是等差数列.
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