Question

【题目】设数列a1,a2,…,an,…中的每一项都不为0.求证:{an}为等差数列的充要条件是:对任何n∈N+,都有

Answer 1

【答案】见解析

【解析】分析：证明必要性，注意到相邻两项有重复元，考虑构造裂项，而可以帮助构造裂项，于是裂项相消即可证明；证明充分性，注意到相邻两式作差可分别得到，，，和，，的关系，然后得到，，的关系，利用等差数列中项公式可得是等差数列

详解：先证必要性.设数列{an}的公差为d.

若d=0,则所述等式显然成立.

若d≠0,

再证充分性.

依题意 ①

②-①

在上式两端同乘a1an+1an+2,得a1=(n+1)an+1-nan+2. ③

同理可得a1=nan-(n-1)an+1. ④

③-④得2nan+1=n(an+2+an),即an+2-an+1=an+1-an,所以{an}是等差数列.