Question

（2013•宿迁一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

6

3

，一条准线方程为x=

3 6

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．
①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；
②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆C的离心率e=

6

3

，一条准线方程为x=

3 6

2

，建立方程组，求得几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（2）①确定G，H的坐标，求得OG，OH的长，即可求△GOH的面积；
②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH，因为OG²+OH²=GH²，故

1

OG2

+

1

OH2

=

1

R2

，分类讨论可得结论．

解答：解：（1）因为椭圆的离心率e=

6

3

，一条准线方程为x=

3 6

2

．
所以

c

a

=

6

3

，

a2

c

=

3 6

2

，a²=b²+c²，…（2分）
解得a=3，b=

3

，
所以椭圆方程为

x2

9

+

y2

3

=1． …（4分）
（2）①由

y= 3 x x2 9 + y2 3 =1

，解得

x2= 9 10 y2= 27 10

，…（6分）
由

y=- 3 3 x x2 9 + y2 3 =1

得

x2= 9 2 y2= 3 2

，…（8分）
所以OG=

3 10

5

，OH=

6

，所以

S

△GOH

=

3 15

5

．…（10分）
②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH
因为OG²+OH²=GH²，故

1

OG2

+

1

OH2

=

1

R2

，
当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得xG2=

9

1+3k2

，yG2=

9k2

1+3k2

∴OG2=

9+9k2

1+3k2

同理可得OH2=

9+9k2

3+k2

∴

1

OG2

+

1

OH2

=

4

9

=

1

R2

，∴R=

3

2

当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得

1

OG2

+

1

OH2

=

4

9

=

1

R2

故满足条件的定圆方程为x²+y²=

9

4

．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查标准方程，考查学生分析解决问题的能力，确定椭圆的标准方程是关键．