Question

【题目】已知函数f（x）=（ + ）x3（a＞0，a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范围，使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），

∵f（﹣x）=（ + ）（﹣x）3=﹣（ + ）x3=（ + ）=f（x）

∴f（x）是偶函数．

（2）解：∵函数f（x）在定义域上是偶函数，

∴函数y=f（2x）在定义域上也是偶函数，

∴当x∈（0，+∞）时，f（x）+f（2x）＞0可满足题意，

∵当x∈（0，+∞）时，x3＞0，

∴只需 + + + ＞0，即 ＞0，

∵a2x+ax+1＞0，

∴（ax）2﹣1＞0，解得a＞1，

∴当a＞1时，f（x）+f（2x）＞0在定义域上恒成立．

【解析】（1）由可推知f（﹣x）=f（x），从而可判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用（1）知f（x）为偶函数，可知当x∈（0，+∞）时，x3＞0，从而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立，只需当a＞1时即可．
【考点精析】利用函数的奇偶性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．