题目内容
关于函数f(x)=2
cos2x+2sinxcosx-
（x∈R）有下列命题：
①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的图象可由y=2cos2x的图象向右平移
个单位得到；
③y=f（x）的图象关于直线x=-
对称；
④y=f（x）在区间[
，
]上是减函数．
其中是假命题的序号有
| 3 |
| 3 |
①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的图象可由y=2cos2x的图象向右平移
| π |
| 6 |
③y=f（x）的图象关于直线x=-
| π |
| 6 |
④y=f（x）在区间[
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
其中是假命题的序号有
①②③
①②③
．分析：先把f（x）化为f（x）=2sin(2x+
)．
①根据f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2=
，对k讨论即可；
②把f（x）向右平移
个单位可得f(x-
)，再化简比较即可；
③若y=f（x）的图象关于直线x=-
对称，则必有f(-
)=±2，否则关于直线x=-
不对称；
④利用y=sinx在区间[2kπ+
，2kπ+
](k∈Z)单调递减进行判断即可．
| π |
| 3 |
①根据f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2=
| kπ |
| 2 |
②把f（x）向右平移
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
③若y=f（x）的图象关于直线x=-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
④利用y=sinx在区间[2kπ+
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
解答：解：∵f（x）=
(2cos2x-1)+sin2x=
cos2x+sin2x=2sin(2x+
)．
①由f（x1）=f（x2）=0可得2sin(2x1+
)=2sin(2x2+
)=0，
∴2x1+
=k1π，2x2+
=k2π．
∴2x1-2x2=（k1-k2）π，
∴x1-x2=
．
当k=2n（n∈Z）时，x1-x2=nπ，此时x1-x2是π的整数倍；
当k=2n+1，（n∈Z）时，x1-x2=
π=nπ+
π，此时x1-x2不是π的整数倍；
故①不正确；
②由y=2cos2x的图象向右平移
个单位得到y=2cos2(x-
)=2cos(2x-
)=2sin(2x+
)≠2sin(2x+
)，故②不正确；
③f(-
)=2sin(-
×2+
)=0≠±2，故y=f（x）的图象关于直线x=-
不对称，∴③不正确；
④∵
≤x≤
，∴
≤2x+
≤π，∴函数f（x）=2sin(2x+
)在区间[
，
]上是减函数，∴④正确．
综上可知：假命题是①②③．
故答案为①②③．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
①由f（x1）=f（x2）=0可得2sin(2x1+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴2x1+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴2x1-2x2=（k1-k2）π，
∴x1-x2=
| kπ |
| 2 |
当k=2n（n∈Z）时，x1-x2=nπ，此时x1-x2是π的整数倍；
当k=2n+1，（n∈Z）时，x1-x2=
| 2n+1 |
| 2 |
| n |
| 2 |
故①不正确；
②由y=2cos2x的图象向右平移
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
③f(-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
④∵
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
综上可知：假命题是①②③．
故答案为①②③．
点评：正确理解函数y=Asin（ωx+φ）的对称性、单调性和平移变换等性质是解题的关键．
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