Question

【题目】已知函数f(x)＝lnx﹣x2+ax，g(x)＝ex﹣e，其中a＞0.

(1)若a＝1，证明：f(x)≤0；

(2)用max{m，n}表示m和n中的较大值，设函数h(x)＝max{f(x)，g(x)}，讨论函数h(x)在(0，+∞)上的零点的个数.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)当0＜a≤1时，h(x)在(0，+∞)上有唯一的零点；当a＞1时，h(x)在(0，+∞)上也有1个零点

【解析】

(1)对f(x)求导，然后求出f'(x)的零点，再判断f(x)的单调性，然后求出f(x)的最大值，进而证明f(x)≤0成立；

(2)由条件知h(x)在区间(1，+∞)上不可能有零点，然后根据条件考虑在区间(0，1)上和x＝1处时h(x)的零点情况即可.

解：(1)(x＞0)，

令f'(x)＝0，则x＝1或(舍)，

∴当x∈(0，1)时，＞0，f(x)单调递增，

当x∈(1，+∞)时，＜0，f(x)单调递减，

∴f(x)≤f(x)max＝f(1)＝0.

(2)是上的增函数，，

在区间(1，+∞)上，g(x)＞0，∴h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＞0，

∴h(x)在区间(1，+∞)上不可能有零点.

下面只考虑区间(0，1)上和x＝1处的情况.

由题意f(x)的定义域为(0，+∞)，.

令＝0可得(负值舍去).

在(0，x0)上＞0，f(x)为增函数，在(x0，+∞)上＜0，f(x)为减函数，

∴f(x)max＝f(x0).

①当a＝1时，x0＝1，∴f(x)max＝f(1)＝0.

∵在区间(0，1)上，g(x)＜0，且g(1)＝0，

∴此时h(x)存在唯一的零点x＝1.

②当0＜a＜1时，.

∵，∴.

∴，

于是f(x)＜0恒成立，结合函数g(x)的性质，

可知此时h(x)存在唯一的零点x＝1.

③当a＞1时，，∴f(x)在(0，1)上递增.

又∵f(1)＝a﹣1＞0，，

∴f(x)在区间(0，1)上存在唯一的零点x＝x1.

结合函数g(x)的性质，可知x＝x1是h(x)唯一的零点.

综上，当0＜a≤1时，h(x)在(0，+∞)上有唯一的零点x＝1；

当a＞1时，h(x)在(0，+∞)上也有1个零点.