题目内容
(本小题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,长轴长为,离心率为,经过其左焦点的直线交椭圆于、两点(I)求椭圆的方程;
(II)在轴上是否存在一点,使得恒为常数?若存在,求出点的坐标和这个常数;若不存在,说明理由.
解:(I)设椭圆的方程为.
由题意,得,解得,所以. …………………2分
所求的椭圆方程为. …………………………………………………4分
(II)由(I)知. 假设在轴上存在一点,使得恒为常数
①当直线与轴不垂直时,设其方程为,、.
由得. ……………………………5分
所以,. ………………………………………6分
.
因为是与无关的常数,从而有,即. ……………9分
此时. …………………………………………………11分
②当直线与轴垂直时,此时点、的坐标分别为,
当时,亦有. ……………………………13分
综上,在轴上存在定点,使得恒为常数,且这个常数为.
……………………………14分
解析
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