题目内容
已知函数,其中是常数且.
(1)当时,在区间上单调递增,求的取值范围;
(2)当时,讨论的单调性;
(3)设是正整数,证明:.
(1) ;(2)当时, 的减区间为,增区间为;当时, 的减区间为,增区间为;(3)详见解析.
解析试题分析:(1)利用导数法,然后才有分离参数的思路进行求解; (2)明确函数的解析式,利用求导法和分类讨论进行求解;(3)用代替中的得到,再证明不等式成立.
试题解析:(1)∵,则,∴,
∵当时,是增函数,∴在时恒成立. (2分)
即在时恒成立. ∵当时,是减函数,
∴当时,,∴. (4分)
(2)∵,∴,
∴, (5分)
∴当时,由得或,故的减区间为,增区间为.
当时,由得或,故的减区间为,增区间为. (9分)
(3)由(1)知,当,时,在时增函数,
∴,即,∴,
∵,∴,∴,
即, (12分)
∴
∴. (14分)
考点:导数法判断函数的单调性,不等式的证明.
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