题目内容

【题目】设数列对任意都有(其中是常数) .

(Ⅰ)当时,求

(Ⅱ)当时,若,求数列的通项公式;

(Ⅲ)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.时,设是数列的前项和,,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使得对任意,都有,且.若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由.

【答案】;(;()存在,

【解析】

(Ⅰ)当时,由已知条件推导出,由此得到数列是以首项为1,公比为3的等比数列,从而能求出

(Ⅱ)当,由已知条件推导出,从而得到数列是等差数列,由此求出

(Ⅲ)由(Ⅱ)知数列是等差数列,,由此进行验证,求出数列的首项的所有取值.

(Ⅰ)当时,①,用去换

②,②-①得,,即

在①中令,故是以1为首项,3为公比的等比数列,所以

从而.

(Ⅱ)当时,③,用去换

④,④-③得,⑤,用

去换⑥,⑥-⑤得,,即

,故是等差数列,因为,所以公差

.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知是等差数列,因,所以,假设存在这样的封闭数列

则对任意,必存在,使得

所以,故为偶数,,又由已知,

所以,此时;当时,

,所以

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