题目内容
【题目】已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.
(1)求p的值;
(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)抛物线定义知|,则
,求得x0=2p,代入抛物线方程,
;
(2)由(1)得M(1,1),拋物线C:y2=2x,
当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,直线AM的斜率 ,直线BM的斜率
,
.
当直线l不垂直于x轴时,直线l的方程为y+1=k(x-3),代入抛物线方程,由韦达定理及斜率公式求得 ,即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数
.
(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p,
又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.
(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.
当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-
),
则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=
,所以kAM·kBM=-
×
=-.
当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AM的斜率kAM==
=
,同理直线BM的斜率kBM=
,∴kAM·kBM=
·
=
.
设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).
联立消去x,得ky2-y-3k-1=0,
所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM=
=
=-.
综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.

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