Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn=n2+2n；数列{bn}是公比大于1的等比数列，且满足b1+b4=9，b2b3=8．
（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=（﹣1）nSn+anbn ， 求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵Sn=n2+2n，∴当n=1时，a1=S1=3；
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．当n=1时也成立，∴an=2n+1．
设等比数列{bn}的公比q＞1，∵b1+b4=9，b2b3=8．
∴ =9， q3=8，q＞1．
联立解得b1=1，q=2．
∴bn=2n﹣1 ．
（II）cn=（﹣1）nSn+anbn=（﹣1）n（n2+2n）+（2n+1）2n﹣1 ．
设数列{（﹣1）nSn}，{anbn}的前n项和分别为：An ， Bn ．
∵（﹣1）2k﹣1S2k﹣1+（﹣1）2kS2k=[（2k）2+22k]﹣[（2k﹣1）2+2（2k﹣1）]=4k+1，
则An=A2k=4×（1+2+…+k）+k=4× +k=k（2k+3）= ；
An=A2k﹣1=An+1﹣[（n+1）2+2（n+1）]= ﹣[（n+1）2﹣2（n+1）]=﹣ ．
Bn=3×1+5×2+7×22+…+（2n+1）2n﹣1 ，
2Bn=3×2+5×22+…+（2n﹣1）2n﹣2+（2n+1）2n ，
∴﹣Bn=3+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）2n= +1﹣（2n+1）2n=（1﹣2n）2n﹣1，
∴Bn=（2n﹣1）2n+1．
∴数列{cn}的前n项和Tn=
【解析】（I）由Sn=n2+2n，可得当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ． 即可得出an ．
设等比数列{bn}的公比q＞1，由b1+b4=9，b2b3=8．可得 =9， q3=8，q＞1．联立解得即可得出．（II）cn=（﹣1）nSn+anbn=（﹣1）n（n2+2n）+（2n+1）2n﹣1 ． 设数列{（﹣1）nSn}，{anbn}的前n项和分别为：An ， Bn ． 利用“分组求和”与“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．