题目内容
【题目】已知△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足a( sinC+cosC)=b+c.
(I) 求角A的大小;
(Ⅱ)已知函数f(x)=sin(ωx+A)的最小正周期为π,求f(x)的减区间.
【答案】解:(I)在△ABC中,由题意及正弦定理可得:sinA( sinC+cosC)=sinB+sinC,
∴ sinAsinC+sinAcosC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,
整理可得: sinAsinC=cosAsinC+sinC,
又∵C为三角形内角,sinC≠0,
∴ sinA=cosA+1,
∴2( sinA﹣ cosA)=1,即sin(A﹣ )= ,
又∵A﹣ ∈(﹣ , ),
∴A﹣ = ,可得:A=
(Ⅱ)由题意,ω= =2,
∴f(x)=sin(2x+ ),
∴由2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,(k∈Z),可得:kπ+ ≤x≤kπ+ ,(k∈Z),
∴f(x)的减区间为:[kπ+ ,kπ+ ],(k∈Z)
【解析】(I)由正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式 sinAsinC=cosAsinC+sinC,又sinC≠0,利用三角函数恒等变换的应用可得sin(A﹣ )= ,由A﹣ ∈(﹣ , ),即可解得A的值.(Ⅱ)利用三角函数周期公式可求ω,可得函数解析式为f(x)=sin(2x+ ),由2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,(k∈Z),即可解得f(x)的减区间.
【考点精析】掌握正弦定理的定义是解答本题的根本,需要知道正弦定理:.
【题目】第 届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日 21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚).
| 第31届里约 | 第30届伦敦 | 第29届北京 | 第28届雅典 | 第27届悉尼 |
中国 | 26 | 38 | 51 | 32 | 28 |
俄罗斯 | 19 | 24 | 24 | 27 | 32 |
(1)根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图,并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值,给出结论即可);
(2)下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和 (从第 届算起,不包括之前已获得的金牌数)随时间 (时间代号)变化的数据:
届 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
时间代号(x) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
金牌数之和(y枚) | 28 | 60 | 111 | 149 | 175 |
作出散点图如下:
①由图中可以看出,金牌数之和 与时间代号 之间存在线性相关关系,请求出 关于 的线性回归方程;
②利用①中的回归方程,预测2020年第32届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数.
参考数据:,,.
附:对于一组数据 ,,,,其回归直线的斜率的最小二乘估计为.