题目内容
已知直线l：y＝x＋
，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：
＝1(a>b>0)的离心率e＝
，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两条切线的斜率之积为定值．
，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两条切线的斜率之积为定值．
（1）
＝1（2）两条切线的斜率之积为常数－1
＝1（2）两条切线的斜率之积为常数－1(1)设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d＝
＝
，∴b＝
＝
，
由题意，得
∴a2＝3，b2＝2.
∴椭圆E的方程为＝1.
(2)设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，
联立直线l0与椭圆E的方程，得
消去y，得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，
∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理，得(2－x)k2＋2kx0y0－(
－3)＝0，设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，
则k1·k2＝－
.
∵点P在圆O上，∴
＝5.
∴k1·k2＝－
＝－1.
∴两条切线的斜率之积为常数－1
＝，∴b＝＝，由题意，得
∴a2＝3，b2＝2. ∴椭圆E的方程为
＝1.(2)设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，
联立直线l0与椭圆E的方程，得
消去y，得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，
∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理，得(2－x)k2＋2kx0y0－(
－3)＝0，设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－
.∵点P在圆O上，∴
＝5.∴k1·k2＝－
＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1
练习册系列答案
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，C为圆B上任意一点，求AC垂直平分线与线段BC的交点P的轨迹方程。
的左、右焦点和短轴的一个端点构成边长为４的正三角形．
的直线
与椭圆Ｃ相交于Ａ、Ｂ两点，若
，求直线
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
，求a，b的值．
＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，点F2(c,0)到直线l：x＝
的距离为3.
⊥
，求出该圆的方程．
的左、右焦点分别为
是
上的点
，
，则椭圆
中，
，给出
的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
、
、
B. 
＝1.
共焦点，且渐近线为
的双曲线方程是（ ）
