Question

10．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=-12y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（m，0）的直线l与椭圆C相切（m＜-2$\sqrt{3}$），直线l与y轴交于点N，当m为何值时△OMN的面积有最小值？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）通过抛物线x²=-12y可知b=3，再利用$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{1}{2}$知a²=12，从而可得结论；
（2）设直线l的方程为y=k（x-m），联立直线l与椭圆方程，通过直线l与椭圆C相切得${m}^{2}=\frac{9}{{k}^{2}}+12$，从而N（0，-km），利用基本不等式可得S_△OMN≥$6\sqrt{3}$．

解答 解：（1）由抛物线x²=-12y可知，其焦点为（0，-3），即b=3，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{1}{2}$，∴a²=12，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）设直线l的方程为y=k（x-m），由对称性不妨设k＞0，
联立直线l与椭圆方程，消去y得：（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-36=0，
∵直线l与椭圆C相切，∴△=64k⁴m²-4（3+4k²）（4k²m²-36）=0，
化简，得${m}^{2}=\frac{9}{{k}^{2}}+12$，
令y=k（x-m）中x=0，得y=-km，即N（0，-km），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}（-m）（-km）$=$\frac{1}{2}k{m}^{2}$=$\frac{1}{2}k（\frac{9}{{k}^{2}}+12）$，
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}（\frac{9}{k}+12k）$≥$\sqrt{\frac{9}{k}×12k}$=$6\sqrt{3}$
当且仅当$\frac{9}{k}=12k$即$k=\frac{\sqrt{3}}{2}$时等号成立，
∵m＜-2$\sqrt{3}$，∴$m=-2\sqrt{6}$时，S_△OMN有最小值$6\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与椭圆的位置关系，基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．