Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AB=AD=a，PB=PD=

2

a，点E为PB的中点，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PD∥面EAC；
（Ⅱ）求证：面PBD⊥面PAC；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点H满足FH∥面EAC？若存在，请指出点H的具体位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设AC，BD相交于O，连接OE，由平行四边形的性质及三角形中位线定理，我们易得PD∥OE，再由线面平行的判定定理即可得到答案．
（II）由已知中PA=AB=AD=a，PB=PD=

2

a，我们根据勾股定理，可得PA⊥AD，PA⊥AD，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABCD，进而可得PA⊥BD，再由菱形的对角线互相垂直，即BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（III）取OD的中点H，根据已知我们可根据平行线分线段成比例定理得到OG∥FH，进而根据线面平行的判定定理，得到FH∥面EAC，进而得到结论．

解答：解：（Ⅰ） 设AC，BD相交于O，连接OE，
∵O分别为PB，PD的中点，
∴PD∥OE∴PD∥面EAC…（4分）
（Ⅱ）∵PA=AB=a，PB=

2

a∴PA⊥AB，同理PA⊥AD
∴PA⊥面ABCD…（6分）
∴PA⊥BD，
∵ABCD为菱形
∴BD⊥AC
∴BD⊥面PAC
∴面PBD⊥面PAC…（8分）
（Ⅲ）取OD的中点H
∴

BG

GF

=

BO

OH

=2∴OG∥FH
∴FH∥面EAC
∴在线段BD上存在一点H满足FH∥面EAC，H为OD的中点．…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间中平面与直线的平行、垂直的判定定理，性质定理，定义，几何特征是解答此类问题的关键．