Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、OE．可得FO∥DC，且FO=

1

2

DC，又FO=AE．AF∥OE又OE?平面PEC，AF?平面PEC，可得线面平行．
（Ⅱ）PA⊥平面ABCD可得∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，tan∠PCA=

5

5

．从而可求PC与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，得PM⊥CE，所以∠PMA是二面角P-EC-D的平面角 tan∠PMA=

2

． 从而可求二面角P一EC一D的大小．

解答：解：（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、
OE．∴FO∥DC，且FO=

1

2

DC
∴FO∥AE …（2分）
又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．
∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE
又OE?平面PEC，AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC
（Ⅱ）连接AC
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角…（6分）
在Rt△PAC中，tan∠PCA=

PA

AC

=

1

5

=

5

5

即直线PC与平面ABCD所成的角大小为arctan

5

5

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，由三垂线定理．得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．  …（11分）
由△AME∽△CBE，可得AM=

2

2

，∴tan∠PMA=

PA

AM

=

2

∴二面角P一EC一D的大小为arctan

2

点评：本题以四棱锥为载体，考查线面平行，考查线面角，考查面面角，解决问题的关键是将空间角找出并且把空间问题转化为平面问题，步骤是一作角二证角三求角四结论．