题目内容
4.已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的实轴长为6,抛物线y2=20x的准线经过双曲线左焦点,过原点的直线与双曲线左、右两支分别交于A,B两点,P为双曲线上不同于A,B的任一点,当kPA,kPB存在时,kPA•kPB的值为( )A. | $\frac{16}{9}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{9}{16}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
分析 由题意求出双曲线方程,设出A、B、P的坐标,把点的纵坐标用横坐标表示,写出直线的斜率,代入整理得答案.
解答 解:由题意知:2a=6,a=3,
∵抛物线y2=20x的准线方程为x=-5,∴c=5,则b2=c2-a2=25-9=16.
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$.
由题意设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x0,y0),
则${{y}_{1}}^{2}=\frac{16}{9}({{x}_{1}}^{2}-9),{{y}_{0}}^{2}=\frac{16}{9}({{x}_{0}}^{2}-9)$,
∵${k}_{PA}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}},{k}_{PB}=\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$,
∴kPA•kPB=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{16}{9}({{x}_{0}}^{2}-9)-\frac{16}{9}({{x}_{1}}^{2}-9)}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=\frac{16}{9}$.
故选:A.
点评 本题考查双曲线的简单性质,考查了设而不求的解题思想方法,是中档题.
练习册系列答案
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A. | 12+$\sqrt{3}+\sqrt{7}$ | B. | 4+3$\sqrt{3}+\sqrt{7}$ | C. | 8+$\sqrt{3}+\sqrt{7}$ | D. | 4+$\sqrt{3}+\sqrt{7}$ |
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A. | 40° | B. | 40°或140° | C. | 140° | D. | 50° |