题目内容

【题目】已知函数.

1)解不等式:

2)是否存在实数t,使得不等式,对任意的及任意锐角都成立,若存在,求出t的取值范围:若不存在,请说明理由.

【答案】12)存在,

【解析】

(1)根据题意,先求出的解析式,并判断的奇偶性和单调性,结合奇偶性和单调性,即可求解;

(2)法一:通过反证法,先假设存在正实数t,使得该不等式对任意的及任意锐角都成立,化简原不等式,通过推理论证,与和对任意的及任意锐角,是否矛盾,得出存在,且可求出的取值范围.

法二:先化简原不等式,通过换元,构造新二次函数,通过新函数恒成立,转化成二次函数恒成立问题,即可得出存在,且可求出的取值范围.

1上的奇函数

R上的增函数

于是

故原不等式的解集为

2)假设存在正实数t,使得该不等式对任意的及任意锐角都成立

原不等式

不等式不可能成立,故

不等式对任意的都成立

该不等式对任意锐角都成立

所以

,则

,令

,而单调递增

所以,即

,又

法二:原不等式

原不等式

时,不成立,也不可能成立

恒成立

若方程,但其两根和与两根积都大于0,开口向上

不可能在上恒成立

所以上恒成立

对任意锐角恒成立

同法一可得:.

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