题目内容
【题目】已知函数,.
(1)解不等式:
(2)是否存在实数t,使得不等式,对任意的及任意锐角都成立,若存在,求出t的取值范围:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在,
【解析】
(1)根据题意,先求出的解析式,并判断的奇偶性和单调性,结合奇偶性和单调性,即可求解;
(2)法一:通过反证法,先假设存在正实数t,使得该不等式对任意的及任意锐角都成立,化简原不等式,通过推理论证,与和对任意的及任意锐角,是否矛盾,得出存在,且可求出的取值范围.
法二:先化简原不等式,通过换元,构造新二次函数,通过新函数恒成立,转化成二次函数恒成立问题,即可得出存在,且可求出的取值范围.
(1),为上的奇函数
又为R上的增函数
于是
故原不等式的解集为
(2)假设存在正实数t,使得该不等式对任意的及任意锐角都成立
原不等式
不等式不可能成立,故
不等式对任意的都成立
故
而
该不等式对任意锐角都成立
所以
令,则
设,令,
则,而在单调递增
故
所以,即
故,又
法二:原不等式
令,
原不等式
时,不成立,也不可能成立
故
令
即恒成立
若方程的,但其两根和与两根积都大于0,开口向上
故不可能在上恒成立
所以在上恒成立
对任意锐角恒成立
同法一可得:.
【题目】我国是水资源匮乏国家,节约用水是每个中国公民应有的意识.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如下表:
每户每月用水量 | 水价 |
不超过12的部分 | 3元/ |
超过12但不超过18的部分 | 6元/ |
超过18的部分 | 9元/ |
(1)该城市居民小张家月用水量记为,应交纳水费y(元),试建立y与x的函数解析式,并作出其图像;
(2)若小张家十月份交纳水费90元,求他家十月份的用水量.