题目内容

给出下列四个命题：
①命题“对任意的x∈R，x2≥0”的否定是“存在x∈R，使x2＜0”；
②定义在[0，
π
2
]的函数f（x）=sinx，若0＜x1＜x2＜
π
2
，则必存在x∈（x1，x2），使（x1-x2）cosx=sinx1-sinx2成立；
③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜
1
4
成立的概率是
π
4
；
④设函数f（x）=xsinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，若f（x1）＞f（x2），则不等式x12＞x22必定成立．
其中真命题的序号是
 
．（填上所有真命题的序号）
分析：根据全称命题的否定是特称命题进行判断①；
由导数的知识可知，
sinx1-sinx2
x1-x2
为函数y=sinx的图象过上任意两点的割线的斜率，其极限为切线的斜率，且sin′x=cosx，判断②；
利用几何概率求解，求
0≤a≤1
0≤b≤1
所表示的屏幕区域是边长为1的正方形，面积为1，不等式a2+b2＜
1
4
成立的区域是半径为
1
2
的圆及内部区域，且在正方形内，面积为，
π
16
可判断③；
先判断函数f（x）=xsinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]为偶函数，且在[0，
π
2
]单调递增，f（x1）＜f（x2）?0＜x1＜x2，根据偶函数的对称性可判断④
解答：解：根据全称命题的否定是特称可知，对任意的x∈R，x2≥0”的否定是“存在x∈R，使x2＜0”①正确
②由导数的知识可知，
sinx1-sinx2
x1-x2
为函数y=sinx的图象过上任意两点的割线的斜率，其极限为切线的斜率，即过一点的导数值，sin′x=cosx，故②正确
③
0≤a≤1
0≤b≤1
所表示的屏幕区域是边长为1的正方形，面积1，不等式a2+b2＜
1
4
成立的区域是半径为
1
2
的圆及内部区域，且在正方形内，面积为
π
16
，故概率 P=
π
16
，③错误
④函数f（x）=xsinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]为偶函数，且在[0，
π
2
]单调递增，f（x1）＜f（x2）?0＜x1＜x2，根据偶函数的对称性可知④正确
故答案为：①②④
点评：本题综合考查了命题的否定，导数的几何意义，与面积有关的几何概率的求解，偶函数的性质等知识的综合运用，解决本题要求熟练掌握基础知识并能灵活运用．
练习册系列答案
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12、已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．
其中正确命题的序号有
①④
．
给出下列四个命题：
①函数y=
1
x
的单调减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函数y=x2-4x+6，当x∈[1，4]时，函数的值域为[3，6]；
③函数y=3（x-1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；
④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]；
⑤若A={s|s=x2+1}，B={y|x=
y-1
}，则A∩B=A．
其中正确命题的序号是
③④⑤
③④⑤
．（填上所有正确命题的序号）
将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成二面角A-BD-C，点E，F分别为AC，BD的中点，给出下列四个命题：
①EF∥AB；②直线EF是异面直线AC与BD的公垂线；③当二面角A-BD-C是直二面角时，AC与BD间的距离为
6
2
；④AC垂直于截面BDE．
其中正确的是
②③④
②③④
（将正确命题的序号全填上）．
给出下列四个命题，其中正确的命题的个数为（　　）
①命题“?x0∈R，2x0≤0”的否定是“?x∈R，2x＞0”；
②log2sin
π
12
+log2cos
π
12
=-2；
③函数y=tan
x
2
的对称中心为（kπ，0），k∈Z；
④[cos（3-2x）]′=-2sin（3-2x）
给出下列四个命题：
①函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数y=x3与y=3x的值域相同；
③函数y=
1
2
+
1
2x-1
与y=
(1+2x)2
x•2x
都是奇函数；
④函数y=（x-1）2与y=2x-1在区间[0，+∞）上都是增函数，其中正确命题的序号是（　　）

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