题目内容
【题目】如图1，在等腰梯形
中，两腰
，底边
，
，
，
是
的三等分点，
是
的中点.分别沿
，
将四边形
和
折起，使
，
重合于点
，得到如图2所示的几何体.在图2中，
，
分别为
，
的中点.
（1）证明：
平面
.
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
(1)先证
，再证
，由
可得
平面
，从而推出
平面
；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量与
，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.
（1）证明：连接
，
，由图1知，四边形
为菱形，且
，
所以
是正三角形，从而.
同理可证，，
所以
平面.
又，所以平面，
因为
平面，
所以平面
平面.
易知
，且
为
的中点，所以
，
所以平面.
（2）解：由（1）可知
，
，且四边形为正方形.设
的中点为
，
以
为原点，以
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
.
设平面的法向量为
，
由
得
取
.
设直线
与平面所成的角为
，
所以
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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