Question

7．极坐标系中椭圆C的方程为ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．
（1）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为P（x，y），求x+$\sqrt{2}$y的取值范围；
（2）若椭圆的两条弦AB，CD交于点Q，且直线AB与CD的倾斜角互补，求证：|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C的方程为ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，化为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．令$x=\sqrt{2}cosθ$，y=sinθ，θ∈[0，2π）．可得x+$\sqrt{2}$y=2$sin（θ+\frac{π}{4}）$，即可得出取值范围．
（2）设Q（m，n），直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=n+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），直线AB与CD的倾斜角互补，可设直线CD的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m-tcosα}\\{y=n+tsinα}\end{array}\right.$，分别把直线AB、CD的参数方程代入椭圆的方程，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．

解答 （1）解：由椭圆C的方程为ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，化为x²+2y²=2，
∴$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
令$x=\sqrt{2}cosθ$，y=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴x+$\sqrt{2}$y=$\sqrt{2}cosθ+\sqrt{2}sinθ$=2$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈[-2，2]，
∴x+$\sqrt{2}$y的取值范围是[-2，2]．
（2）证明：设Q（m，n），直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=n+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
∵直线AB与CD的倾斜角互补，可设直线CD的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m-tcosα}\\{y=n+tsinα}\end{array}\right.$，
把直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=n+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）代入椭圆的方程化为：（1+sin²α）t²+（2mcosα+4nsinα）t+m²+2n²-2=0，
∴|QA||QB|=$\frac{|{m}^{2}+2{n}^{2}-2|}{1+si{n}^{2}α}$，
同理可得：|QC||QD|=$\frac{|{m}^{2}+2{n}^{2}-2|}{1+si{n}^{2}α}$，
∴：|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．

点评 本题考查了直线的参数方程及其应用、椭圆的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．