题目内容
【题目】在五面体中,
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若,
是等腰直角三角形,
,求直线
与平面
所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)根据且
、
、
、
四点共面,得到
,由线面平行的判定得到
平面
,再由线面平行的性质定理
,根据
,
,得到
平面
,再由面面垂直的判定证明.
(2)根据和
,
,得到
是正方形,建立空间直角坐标系,不妨设
,得到
,
,
的坐标,求得平面
的一个法向量,代入线面角向量公式
求解.
(1)因为且
、
、
、
四点共面,所以
,
又平面
,所以
平面
,
又平面平面
,所以
,
因为,所以
,
又,所以
平面
,
而平面
,故平面
平面
.
(2)由和
,
可知,
是正方形,
如图建立空间直角坐标系,
不妨设,则
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,
则由,且
得,
,故令
,得
设直线与平面
所成角为
,则
,从而
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