Question

设函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2^x+1，则满足不等式f（t）＜-3的t的取值范围是

t＜-1

．

Answer 1

分析：设x＜0则-x＞0，则f（-x）=2-x+1=(

1

2

)x+1，由函数为奇函数可得f（-x）=-f（x）及f（0）=0可求函数的解析式，由f（t）＜-3，分t＜0，t＞0，t=0三种情况分别代入f（t）进行解不等式．

解答：解：设x＜0则-x＞0，则f（-x）=2-x+1=(

1

2

)x+1
由函数为奇函数可得f（-x）=-f（x）
∴f（x）=-((

1

2

)x+1)，而x=0时，f（0）=0
∴f(x)=

2x+1，x＞0 0，x=0 -(( 1 2 )x+1)，x＜0

∵f（t）＜-3
当t＜0时，则有-((

1

2

)t+1)＜-3即(

1

2

)t+1＞3，解可得t＜-1
当t＞0时，2^t+1＜-3的t不存在
当t=0时，0＜-3不成立
综上可得t＜-1
故答案为：t＜-1

点评：本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，解题中不要漏掉对x=0的考虑，还考查了指数函数的单调性在解不等式中的应用，体现了分类讨论的思想在解题中的应用