Question

【题目】已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若，证明：

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见证明

【解析】

（1）先求得函数的定义域，然后利用函数的导数研究的单调区间.（2）将原不等式等价变形为，根据（1）中求得的单调性，只需证当时，，构造函数，利用导数证得，也即时，成立，由此证得原不等式成立.

解：（1）函数的定义域为，求导得，令，

令g’(x)＞0，解得-1＜x＜0，令g’(x)＜0解得x＞0，

所以单调增区间为减区间为。

g(x)＜g(0)=0，即f’(x)＜0在定义域上恒成立，

所以的单调减区间为 ；

（2）证明：将不等式变形为，因为，即不等式等价于，由（1）有所以在上单调递减，所以要证原不等式成立，需证当x＞0时，x＜ex-1，令，则，可知h’(x)＞0在恒成立，即h(x)在上单调递增，故h(x)>h(0)=0，即x＜ex-1，故f(x)＞f(ex-1)，即，即.